Question

（2010•茂名二模）如圖所示，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2 5

5

，且A（0，1）是橢圓C的頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作斜率為1的直線l，在直線l上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A（0，1）是橢圓C的頂點(diǎn)得a值，根據(jù)離心率為

2 5

5

，求出b值，從而求橢圓C的方程；
（2）欲求雙曲線E的方程，只須求出其實(shí)軸長(zhǎng)即可，而要使雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，只需||MF₁|-|MF₂||最大即可，根據(jù)對(duì)稱性知，直線F₂F₁′與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M即能使||MF₁|-|MF₂||最大，從而問(wèn)題解決．

解答：解：（1）由題意可知，b=1（1分）
∵e=

c

a

=

2 5

5

即

c2

a2

=

a2-1

a2

=

4

5

∴a²=5（3分）
∴所以橢圓C的方程為：

x2

5

+y2=1（4分）
（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
則可知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
直線l方程為：x-y+1=0（6分）
因?yàn)镸在雙曲線E上，所以要使雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng)，
只需||MF₁|-|MF₂||最大．
又∵F₁（-2，0）關(guān)于直線l：x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為F′₁（-1，-1），
則直線F₂F₁′與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M（9分）
∵直線F₂F₁′的斜率為k=

1

3

，其方程為：y=

1

3

（x-2）
∴

y= 1 3 (x-2) x-y+1=0

解得

x=- 5 2 y=- 3 2

∴M（-

5

2

，-

3

2

）（12分）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁′|-|MF₂||≤|F2F₁′|=

(2+1)2+12

=

10

∴a′max=

1

2

10

，此時(shí)b′=

1

2

6

，
故所求的雙曲線方程為

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．