Question

某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價(jià)為x元(6<x<11),年銷售為u萬(wàn)件,若已知-u與(x-)²成正比,且售價(jià)為10元時(shí),年銷量為28萬(wàn)件.

(1)求年銷售利潤(rùn)y關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求售價(jià)為多少時(shí),年利潤(rùn)最大,并求出最大年利潤(rùn).

Answer 1

:(1)設(shè)-u=k(x-)²,

∵售價(jià)為10元時(shí),年銷量為28萬(wàn)件,

∴-28=k(10-)²,

解得k=2.

∴u=-2(x-)²+=-2x²+21x+18.

∴y=(-2x²+21x+18)(x-6)

=-2x³+33x²-108x-108(6<x<11).

(2)y′=-6x²+66x-108

=-6(x²-11x+18)

=-6(x-2)(x-9).

令y′=0,

得x=2(舍去)或x=9,

顯然,當(dāng)x∈(6,9)時(shí),y′>0;

當(dāng)x∈(9,11)時(shí),y′<0.

∴函數(shù)y=-2x³+33x²-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.

∴當(dāng)x=9時(shí),y取最大值,且y_max=135,

∴售價(jià)為9元時(shí),年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)為135萬(wàn)元.