如圖,已知OPQ是半徑為1,圓心角為60°的扇形,∠POQ的平分線交弧PQ于點E,扇形POQ的內(nèi)接矩形ABCD關于OE對稱;設∠POB=α,矩形ABCD的面積為S.
(1)求S與α的函數(shù)關系f(α);
(2)求S=f(α)的最大值.
分析:(1)由題意可得△AOD為等邊三角形,求得BC=2sin(
π
6
-α)=cosα-
3
sinα.再求得∠ABO=
π
6
-α,△OAB中,利用正弦定理求得AB=2sinα.
可得矩形ABCD的面積S=f(α)=AB•BC=2sinα(cosα-
3
sinα), (0<α<
π
6
)

(2)由(1)可得S=f(α)=2sin(2α+
π
3
)-
3
.再由 0<α<
π
6
,根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得S=f(α)的最大值.
解答:解:(1)由題意可得AB∥OE∥CD,∴∠POE=∠PAB=
π
6
,∴∠OAD=
π
3
=∠ADO,∠BOC=
π
3
-2α,△AOD為等邊三角形.
故BC=2sin(
π
6
-α)=2(
1
2
cosα-
3
2
sinα)=cosα-
3
sinα.
再由∠ABO=π-∠AOB-∠OAD-∠BAD=π-α-
π
3
-
π
2
=
π
6
-α,△OAB中,利用正弦定理可得
AB
sin∠AOB
=
OB
sin∠OAB
,
AB
sinα
=
1
sin(
π
3
+
π
2
)
,化簡可得AB=2sinα.
故矩形ABCD的面積S=f(α)=AB•BC=2sinα(cosα-
3
sinα), (0<α<
π
6
)

(2)由(1)可得S=f(α)=2sinαcosα-2
3
sin2α=sin2α+
3
cos2α-
3
=2(
1
2
sin2α+
3
2
cos2α)-
3

=2sin(2α+
π
3
)-
3

再由 0<α<
π
6
可得
π
3
<2α+
π
3
3
,故當 2α+
π
3
=
π
2
,即當α=
π
12
時,S=f(α)取得最大值為2-
3
點評:本題主要考查直角三角形中的邊角關系、兩角和差的三角公式、正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦定理的應用,屬于中檔題.
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