Question

設關于x的不等式|x|+|x-1|＜a（a∈R）．若a=2，則不等式的解集為

 

；若不等式的解集為∅，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，將含有絕對值的不等式，通過分類討論，轉化為不含絕對值的不等式解，分類時按照小于等于0，（0，1）和大于等于1分三類，分別討論，最后求出它們的并集即可；
（2）“不等式的解集為∅”問題轉化成恒成立問題解決，即a要小于函數x|+|x-1|的最小值即可．

解答：解：a=2時，不等式|x|+|x-1|＜2化為

x≤0 -x+1-x＜2

或

0＜x＜1 x+1-x＜2

或

x≥1 x+x-1＜2

，
解得-

1

2

＜x≤0或0＜x＜1或1≤x＜

3

2

，
即-

1

2

＜x＜

3

2

，
故不等式的解集為(-

1

2

，

3

2

)；
因為|x|+|x-1|≥|x-（x-1）|=1，
所以若不等式|x|+|x-1|＜a的解集為∅，
則a的取值范圍是a≤1．
故填：(-

1

2

，

3

2

)；（-∞，1]．

點評：本小題主要考查含絕對值的不等式的解法，以及絕對值三角不等式的性質．這類問題是高考選做題中的常規(guī)題，解題方法要熟練掌握．