Question

設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x∈R且x≠0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x₁，x₂，恒有f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．

(1)求f(1)的值；

(2)求證y＝f(x)是偶函數(shù)；

(3)已知y＝f(x)為區(qū)間(0，＋∞)上的增函數(shù)，求適合f(log₂x)＞0的x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因?yàn)閒(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以當(dāng)x₁＝x₂＝1時(shí)有f(1)＝f(1)＋f(1)，即得f(1)＝0．

　　(2)由(1)可知f(1)＝0，而f(1)＝f((－1)·(－1))＝2f(－1)＝0，可得f(－1)＝0．

　　因?yàn)閤∈R且x≠0，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．而對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有

　　f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．所以函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．

　　(3)由題意可得，f(log₂x)＞0即f(log₂x)＞f(1)．因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以有|log₂x|＞1，解得x＞2或0＜x＜，即x∈(0，)∪(2，＋∞)．

　　點(diǎn)評(píng)：在證明此函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，要注意：函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x，都有f(－x)＝f(x)．這就要求在解題時(shí)利用(1)中所得的f(1)＝0求出f(－1)＝0，進(jìn)而得出f(－x)＝f(x)，偶函數(shù)得到證明．對(duì)于(3)則要求學(xué)生根據(jù)偶函數(shù)圖象的特征作出判斷，即偶函數(shù)在y軸兩邊的單調(diào)性相反．函數(shù)值的大小就依靠自變量離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近來確定，從而減少討論的麻煩．

提示：

本題的切入點(diǎn)是f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以解題時(shí)要充分利用這個(gè)等式．