Question

設

a

=（cosα，（λ-1）sinα），

b

=（cosβ，sinβ）（λ＞0，0＜α＜β＜π）是平面上的兩個向量，且

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直．
（1）求λ的值；
（2）若

a

• 

b

=

4

5

，tanβ=

4

3

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由

a

+

b

⊥

a

-

b

得，（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，代入數據計算，可求得λ的值；
（2）由（1）知，λ=2，且

a

• 

b

=

4

5

，可得cos（α-β），進而得sin（α-β），tan（α-β）的值，又知tanβ，
則tanα可表示為tan[（α-β）+β]，由此求出結果．

解答：解：（1）由題設，得
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=cos²α+（λ-1）²sin²α-cos²β-sin²β=1-sin²α+（λ-1）²sin²α-1=（λ-1）²sin²α-sin²α；
∵

a

+

b

與

a

-

b

垂直，∴（λ-1）²sin²α-sin²α=0，即 λ（λ-2）sin²α=0，且0＜α＜π，∴sin²α≠0，
又 λ＞0，故 λ-2=0，∴λ=2；
（2）當

a

+

b

與

a

-

b

垂直時，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴cos（α-β）=

4

5

 （0＜α＜β＜π），即-

π

2

＜α-β＜0，∴sin（α-β）=-

3

5

，tan（α-β）=-

3

4

，
∴tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)tanβ

=

- 3 4 + 4 3

1-(- 3 4 )×  4 3

=

7

24

．

點評：本題考查了平面向量的數量積運算，同角的三角函數關系，兩角和與差的正弦，余弦，正切等知識；也考查了計算能力，屬于中檔題．