在平面直角坐標系xoy中，設拋物線C：y2=4x
（1）求拋物線C上到焦點距離等于5的點的橫坐標；
（2）設命題p：過拋物線C上一點M（1，2）作兩條不同的直線，分別交拋物線C于點A，B，設直線MA，MB，AB的斜率均存在且分別記為kMA，kMB，kAB若
1
kMA
+
1
kMB
為定值，則kAB為定值．判斷命題p的真假，并證明；
（3）寫出（2）中命題p的逆命題，并判斷真假（不要求證明）．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設拋物線C上一點的橫坐標為x，由題意，根據(jù)拋物線定義，得x+1=5，由此能求出拋物線C上到焦點距離等于5的點的橫坐標．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，則
1
kMA
+
1
kMB
=
x1-1
y1-2
+
x2-1
y2-2
，kAB=
y1-y2
x1-x2
，由此能證明當
1
kMA
+
1
kMB
為定值時，kAB為定值．
（3）把命題p的題設和結論互換，能求出逆命題，命題p的逆命題是真命題．
解答： 解：（1）設拋物線C上一點的橫坐標為x，
由題意，根據(jù)拋物線定義，得x+1=5，解得x=4，
∴拋物線C上到焦點距離等于5的點的橫坐標為4．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，
則
1
kMA
+
1
kMB
=
x1-1
y1-2
+
x2-1
y2-2
，kAB=
y1-y2
x1-x2
，
∵點A，B在拋物線C上，
∴
y12=4x1
y22=4x2
，即
x1=
y12
4
x2=
y22
4
，
代入上式，化簡得：
1
kMA
+
1
kMB
=
y12-4
4(y1-2)
+
y22-4
4(y2-2)
=
y1+2
4
+
y2+2
4
=
y1+y2
4
+1，
kAB=
4(y1-y2)
y12-y22
=
4
y1+y2
，
∴
1
kMA
+
1
kMB
為定值時，y1+y2為定值，∴kAB為定值．
（3）命題p的逆命題：
過拋物線C上一點M（1，2）作兩條不同的直線，分別交拋物線C于A，B，設直線MA，MB，AB的斜率均存在且分別記為kMA，kMB，kAB，若kAB為定值，則
1
kMA
+
1
kMB
為定值．
命題p的逆命題是真命題．
點評：本題考查拋物線上點的橫坐標的求法，考查直線的斜率為定值的證明，考查命題的逆命題的求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關于x的不等式sin2x+acosx-a2≤1+cosx對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A、（-1，
1
3
）
B、[-1，
1
3
]
C、（-∞，-1]∪[
1
3
，+∞）
D、（-∞，-1）∪（
1
3
，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P，Q分別在邊AB，AD上，且PQ=1，設AP+AQ=x，記△CPQ的面積函數(shù)為S=f（x）．
（1）當AP=AQ時，求S的值；
（2）是否存在實數(shù)x，使得S=
2
3
？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC上的一點，則三棱錐D1-B1C1E的體積等于（　�。�
A、
1
3
B、
5
12
C、
3
6
D、
1
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x-
1
x
的零點在區(qū)間（　　）
A、（-1，0）
B、（0，1）
C、（1，2）
D、（2，3）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知經(jīng)過拋物線C：x2=2py焦點F的直線l：y=kx+1與拋物線C交于A、B兩點，若存在一定點D（0，b），使得無論AB怎樣運動，總有直線AD的斜率與BD的斜率互為相反數(shù)．
（Ⅰ）求p與b的值；
（Ⅱ）對于橢圓C'：
x2
5
+y2=1，經(jīng)過它左焦點F′的直線l′與橢圓C′交于A′、B′兩點，是否存在定點D′，使得無論A′B′怎樣運動，都有∠A′D′F′=∠B′D'F′？若存在，求出D′坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，動點M到兩定點F1（0，-
3
），F(xiàn)2（0，
3
）的距離之和為4，設點M的軌跡是曲線C．已知直線l與曲線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，
m
=（2x1，y1），
n
=（2x2，y2），且m⊥n．
（1）若直線l過曲線C的焦點F（0，c） （c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（2）△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明； 如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1與圓C2：x2+y2=1，在下列說法中：
①對于任意的θ，圓C1與圓C2始終有四條公切線；
②對于任意的θ，圓C1與圓C2始終相切；
③P，Q分別為圓C1與圓C2上的動點，則|PQ|的最大值為4．
④直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C2一定相交于兩個不同的點；
其中正確命題的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=sin（2x-
π
6
）在區(qū)間[
π
12
，
π
2
]上的值域是（　�。�
A、[-
1
2
，1]
B、[
1
2
，1]
C、[0，1]
D、[0，
1
2
]

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