(22)已知a＞0,數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=a+,n=1,2,…

(Ⅰ)已知數(shù)列{an}極限存在且大于零,求A=an(將A用a表示);

(Ⅱ)設bn=an－A,n=1,2,…,證明:bn+1=－;

(Ⅲ)若|bn|≤,對n=1,2,…都成立,求a的取值范圍.

(22)本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學歸納法,考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.

解：

(Ⅰ)由an存在,

且A=an(A＞0),對an+1=a+兩邊取極限得.

A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.

    (Ⅱ)由an=bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+,

 

∴bn+1=a－A+=－+=－.

即bn+1=－對n=1,2,…都成立.

 

(Ⅲ)令|b1|≤,得|a－(a+)|≤.

∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.

現(xiàn)證明當a≥時,|bn|≤,對n=1,2,…都成立.

(ⅰ)當n=1時結論成立(已驗證).

(ⅱ)假設當n=k(k≥1)時結論成立,即|bk|≤,那么

|bk+1|=≤×.

故只需證明≤,

即證A|bk+A|≥2對a≥成立.

由于A==，

而當a≥時，－a≤1,∴A≥2.

∴|bk+A|≥A－|bk|≥2－≥1,即A|bk+A|≥2.

故當a≥時，|bk+1|≤×=.

即n=k+1時結論成立.

根據(jù)(ⅰ)和(ⅱ)，可知結論對一切正整數(shù)都成立.

故|bn|≤對n=1,2,…都成立的a的取值范圍為［，+∞).


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