Question

如圖2所示，空間幾何體P-ABC中PA⊥平面ABC，AB⊥BC．PB、PC與平面ABC所成的角分別為60°和45°．AE⊥PB于E．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）求AC與平面PBC所成的角；
（3）求AC與PB所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件得到BC⊥平面PAB，進而可得結論；
（2）先結合第一問的結論得到AE⊥面PBC，進而得∠ACE為AC與平面PBC所成角；然后通過求三角形的邊長即可求出∠ACE得到結論．
（3）過B作BN

∥ .

.

AC，連AN、PN，得∠PBN等于AC與PB所成角（或補角）；然后通過求三角形的邊長即可求出結論．

解答：解：如圖，（1）PA⊥平面ABC⇒

PA⊥BC AB⊥BC

⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥AE
（2）連EC．
∵BC⊥AE，AE⊥PB于E
∴AE⊥面PBC
∴∠ACE為AC與平面PBC所成角．
設AC=a，由條件⇒PA=a，AB=

3

3

a，⇒AE=

a

2

∴sin∠ACE=

AE

AC

=

1

2

即∠ACE=30°．
∴AC與平面PBC所成角為30°．
（3）過B作BN

∥ .

.

AC，連AN、PN，
則∠PBN等于AC與PB所成角（或補角）．
由已知，設AC=a，則BN=a，PB=

2 3

3

a，PN=

AN2+PA2

=

15

3

a．
則cos∠PBN=

BN2+PB2-PN2

2•BN•PB

=

3

6

．
∵AC、PB為異面直線
∴AC、PB所成角為arccos

3

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎知識．考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力．