(2013•惠州模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為2,E是棱CD上中點(diǎn),P是棱AA1中點(diǎn),
(1)求證:PD∥面AB1E;
(2)求三棱錐B-AB1E的體積.
分析:(1)取AB1中點(diǎn)Q,連接PQ,利用三角形中位線定理和正方體的性質(zhì),證出四邊形PQDE為平行四邊形,可得PD∥QE,利用線面垂直判定定理即可證出PD∥面AB1E;
(2)由正方體的性質(zhì),算出BB1=2是三棱錐B1-ABE高,而S△ABE=
1
2
 SABCD=2,利用錐體體積公式算出VB1-ABE=
1
3
S△ABE•BB1=
4
3
,即得三棱錐B-AB1E的體積.
解答:解:(1)取AB1中點(diǎn)Q,連接PQ,
∵△AA1B1中,PQ為中位線,
∴PQ
.
1
2
A1B1,…(2分)
又∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD中點(diǎn),
∴DE
.
1
2
A1B1,…(4分)
∴PQ
.
DE,得四邊形PQDE為平行四邊形,可得PD∥QE…(6分)
∵QE?平面AB1E,PD?平面AB1E,
∴PD∥面AB1E;…(8分)
(2)∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,
∴BB1為三棱錐B1-ABE高,BB1=2…(10分)
∵四邊形ABCD為正方形,∴S△ABE=
1
2
 SABCD=2…(12分)
故三棱錐B-AB1E的體積為
VB-AB1E=VB1-ABE=
1
3
S△ABE•BB1=
4
3
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題在正方體中求證線面平行,并求錐體的體積.著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行的判定定理和錐體體積公式等知識(shí),屬于中檔題.
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