Question

如圖是一個四面體形狀的木塊ABCD，用平行于一組對棱AC、BD的平面截此四面體得截面PQMN，解答下列各問題：

（1）四邊形PQMN是平行四邊形嗎？試證明.

（2）若AC=BD，能截得菱形嗎？

（3）在什么情況下，可以截得一個矩形？

（4）在什么情況下，可以截得一個正方形？

（5）若AC=BD=a，求證平行四邊形PQMN的周長是定值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵AC∥面PQMN，面PQMN∩面ACD=PQ， 且AC面ACD，∴AC∥PQ. 同理可證AC∥MN，BD∥MQ，BD∥NP，∴PQ∥MN，MQ∥NP. ∴四邊形PQMN是平行四邊形. （2）若AC=BD，由三角形中位線定理可知，當點P是AD中點時，四邊形PQMN是菱形. （3）顯然，當AC⊥BD時，四邊形PQMN是矩形. （4）由（2）、（3）可知當AC⊥BD且AC=BD時，四邊形PQMN是正方形. （5）設MQ=x，PQ=y，AQ∶QD=m∶n. ∵△AMQ∽△ABD，∴MQ∶BD=AQ∶AD=m∶（m+n）， ∴MQ=am∶（m+n），即x=am∶（m+n）. 同理可得y=an∶（m+n）. ∴x+y=a. ∴周長=2（x+y）=2a， 即當AC=BD=a時，平行四邊形PQMN的周長是定值2a.