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如圖是一個四面體形狀的木塊ABCD,用平行于一組對棱AC、BD的平面截此四面體得截面PQMN,解答下列各問題:

1)四邊形PQMN是平行四邊形嗎?試證明.

2)若AC=BD,能截得菱形嗎?

3)在什么情況下,可以截得一個矩形?

4)在什么情況下,可以截得一個正方形?

5)若AC=BD=a,求證平行四邊形PQMN的周長是定值.

 

答案:
解析:

解:(1ACPQMN,面PQMNACD=PQ,

ACACD,ACPQ.

同理可證ACMN,BDMQ,BDNP,PQMN,MQNP.

四邊形PQMN是平行四邊形.

2)若AC=BD,由三角形中位線定理可知,當點PAD中點時,四邊形PQMN是菱形.

3)顯然,當ACBD時,四邊形PQMN是矩形.

4)由(2)、(3)可知當ACBDAC=BD時,四邊形PQMN是正方形.

5)設MQ=x,PQ=y,AQQD=mn.

∵△AMQ∽△ABD,MQBD=AQAD=mm+n),

MQ=amm+n),即x=amm+n.

同理可得y=anm+n.

x+y=a. ∴周長=2x+y=2a,

即當AC=BD=a時,平行四邊形PQMN的周長是定值2a.

 


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:044

如圖是一個四面體形狀的木塊ABCD,用平行于一組對棱ACBD的平面截此四面體得截面PQMN,解答下列各問題:

1)四邊形PQMN是平行四邊形嗎?試證明.

2)若AC=BD,能截得菱形嗎?

3)在什么情況下,可以截得一個矩形?

4)在什么情況下,可以截得一個正方形?

5)若AC=BD=a,求證平行四邊形PQMN的周長是定值.

 

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