Question

以F₁(0，－1)，F₂(0，1)為焦點的橢圓C過點P(，1)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點S(－，0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設橢圓方程為(a＞b＞0)，由已知c＝1， 　　又2a＝．所以a＝，b2＝a2－c2＝1， 　　橢圓C的方程是＋x2＝1．　4分 　　(Ⅱ)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2＋y2＝1， 　　若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x＋)2＋y2＝．由解得即兩圓相切于點(1，0)．因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．事實上，點T(1，0)就是所求的點．證明如下：　7分 　　當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y＝k(x＋)． 　　由即(k2＋2)x2＋k2x＋k2－2＝0．記點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又因為＝(x1?1，y1)，＝(x2?1，y2)，·＝(x1?1)(x2?1)＋y1y2＝(x1?1)(x2?1)＋k2(x1＋)(x2＋)＝(k2＋1)x1x2＋(k2?1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2?1)＋＋1＝0，所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．所以存在一個定點T(1，0)滿足條件．　12分 　　解法二：設，A，B． 　　則·＝0 　　∴，當AB斜率存在時， 　　設AB：與聯(lián)立，消，有 　　∴，，， 　　代入①有 　　 　　∴∴，∴，當AB斜率不存在時，A，B，，·＝0，適合題意．所以在坐標平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件．　12分．