Question

如圖，已知橢圓及兩條直線，其中，且l₁，l₂分別交x軸于C、D兩點．從l₁上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點F被石軸反射后與l₂交于點B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，則橢圓的離心率等于

1. A.
   A
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根據(jù)光線反射的幾何性質(zhì)，得∠AFC=∠AFC=45°，從而得到Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．Rt△ABF中算出∠ABF=30°，得到|BF|=|AF|，從而有|DF|=|CF|，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的等式，化簡整理即可得到該橢圓的離心率．
解答：根據(jù)題意，得∠AFC=∠AFC=（180°-90°）=45°
∴Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．
∵∠ABD=75°，∴∠ABF=75°-45°=30°
Rt△ABF中，tan30°==，得|BF|=|AF|
∵|CF|=|AF|，|DF|=|BF|，∴|DF|=|CF|…（*）
∵橢圓方程是，
∴左焦點F（-c，0）
因此，|DF|=+c，|CF|=-c，代入（*）得
+c=（-c），即（+1）c=（-1）
∴兩邊都除以a，得（+1）e=（-1），得e²=
∴離心率e==（舍負）
故選：C
點評：本題給出光的反射問題，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)等知識，屬于中檔題．