Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且當(dāng)-1≤x＜0時(shí)．f（x）=-2x³-5ax²-4a²x-b．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)1＜a≤3時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，0）上最大值g（a）；
（3）如果對(duì)滿足1＜a≤3的一切實(shí)數(shù)a，不等式f（x）≤0在[-1，0）上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由-1≤x＜0得到-x的范圍，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以得到f（x）=-f（-x），把-x代入f（x）的解析式即可確定出f（x）在0＜x≤1時(shí)的解析式，且得到f（0）=0，；聯(lián)立可得f（x）的分段函數(shù)解析式；
（2）由于f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[-1，0）上最大值g（a）即為函數(shù)f（x）在（0，1]上的最小值h（a）的相反數(shù)．當(dāng)x大于0小于等于1時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)x的值，利用x的值分

2a

3

大于

2

3

小于1和

2a

3

大于等于1小于等于2兩種情況考慮導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性分別求出相應(yīng)的最小值h（a），即可得到g（a）的分段函數(shù)表達(dá)式；
（3）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是對(duì)滿足1＜a≤3的實(shí)數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于

3

2

和a大于等于

3

2

小于等于3兩種情況考慮g（a）的解析式，分別求出相應(yīng)g（a）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷g（a）的單調(diào)性，根據(jù)g（a）的增減性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出關(guān)于b的不等式，求出兩不等式的公共解集即可滿足題意的b的取值范圍．

解答： 解：（1）x=0時(shí)，f（0）=0，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，-1≤-x＜0，f（-x）=2x³-5x²+4x-1，
由于f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即有f（x）=-2x³+5x²-4x+1（0＜x≤1），
則f（x）=

-2x3-5x2-4x-1，-1≤x＜0 0，x=0 -2x3+5x2-4x+1，0＜x≤1

；
（2）由于f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[-1，0）上最大值g（a）
即為函數(shù)f（x）在（0，1]上的最小值h（a）的相反數(shù)．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=-2x³+5ax²-4a²x+b，
f′（x）=-6x²+10ax-4a²=-2（3x-2a）（x-a）=-6（x-

2a

3

）（x-a）．
①當(dāng)

2

3

＜

2a

3

＜1，即1＜a＜

3

2

時(shí)，
當(dāng)x∈（0，

2a

3

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

2a

3

，1]時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

2a

3

）單調(diào)遞減，在（

2a

3

，1]上單調(diào)遞增，
∴h（a）=f（

2a

3

）=-

28

27

a³+b．
②當(dāng)1≤

2a

3

≤2，即

3

2

≤a≤3時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞減．
∴h（a）=f（1）=-4a²+5a-2+b，
∴g（a）=

28 27 a3-b，1＜a＜ 3 2 4a2-5a+2-b， 3 2 ≤a≤3

；
（3）要使函數(shù)f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，
必須f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是對(duì)滿足1＜a≤3的實(shí)數(shù)a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①當(dāng)1＜a≤

3

2

時(shí)，g′（a）=

28

9

a²＞0，此時(shí)g（a）在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
則g（a）＜

28

27

（

3

2

）³-b=

7

2

-b．∴

7

2

-b≤0，解得b≥

7

2

；
②當(dāng)

3

2

≤a≤3時(shí)，g′（a）=8a-5＞0，此時(shí)，g（a）在[

3

2

，3]上是增函數(shù)，
g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得實(shí)數(shù)b的取值范圍是b≥23．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，靈活運(yùn)用函數(shù)的奇偶性解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．