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5.設(shè)Sn為數(shù)列{an}前n項和,S1=1且an=2Sn22Sn1(n≥2).
(1)證明:{1Sn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

分析 (1)當n=1時,S1=1,1S1=1;當n≥2時,化簡可得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,從而證明;
(2)由(1)知1Sn=2n-1,從而可得Sn=12n1,從而求得當n≥2時an=22n132n,再檢驗n=1時即可.

解答 解:(1)證明:當n=1時,S1=1,1S1=1;
當n≥2時,∵an=2Sn22Sn1,
∴Sn-Sn-1=2Sn22Sn1
∴Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
1Sn-1Sn1=2,
故{1Sn}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列;
(2)由(1)知,1Sn=2n-1,
故Sn=12n1,
當n≥2時,an=2Sn22Sn1=22n132n,
當n=1時,上式不成立;
故an={1n=122n132nn2

點評 本題考查了學生的化簡運算能力及分類討論的思想應(yīng)用,同時考查了等差數(shù)列的判斷.

練習冊系列答案
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