Question

4．我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤，問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金$\frac{1}{2}$，第2關收稅金為剩余金的$\frac{1}{3}$，第3關收稅金為剩余金的$\frac{1}{4}$，第4關收稅金為剩余金的$\frac{1}{5}$，第5關收稅金為剩余金的$\frac{1}{6}$，5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”若將題中“5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”改成假設這個原來持金為x，按此規(guī)律通過第8關，則第8關需收稅金為$\frac{1}{72}$x．

Answer 1

分析 第1關收稅金：$\frac{1}{2}$x；第2關收稅金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3關收稅金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；…，可得第8關收稅金．

解答 解：第1關收稅金：$\frac{1}{2}$x；第2關收稅金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3關收稅金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；
…，可得第8關收稅金：$\frac{1}{8×9}$x，即$\frac{1}{72}$x．
故答案為：$\frac{1}{72}$．

點評 本題考查了數列的通項公式及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．