Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，頂點為O，準線為l，過該拋物線上異于頂點O的任意一點A作AA₁⊥l于點A₁，以線段AF，AA₁為鄰邊作平行四邊形AFCA₁，連接直線AC交l于點D，延長AF交拋物線于另一點B．若△AOB的面積為S_△AOB，△ABD的面積為S_△ABD，則

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由填空題的特殊性，我們可以利用特殊位置進行解決．

解答： 解：由題意，

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值，一定在特殊位置取得，即AB⊥x軸，
此時S_△AOB=

1

2

•

p

2

•2p=

1

2

p²，
S_△ABD=

1

2

•p•2p=p²，
∴

(S△AOB)2

S△ABD

的最大值為

1 4 p4

p2

=

p2

4

．
故答案為：

p2

4

．

點評：本題考查拋物線的性質，考查三角形面積的計算，考查利用特殊位置解決問題，屬于中檔題．