Question

設f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）及f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用換元法，結合指數(shù)和對數(shù)的互化，化簡整理，即可得到解析式和定義域；
（2）運用奇偶性的定義，先判斷定義域是否關于原點對稱，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）方法一、通過計算f（m）+f（1），得到不等式，再討論a＞1，0＜a＜1結合指數(shù)函數(shù)的單調性，解得即可；
方法二、運用單調性的定義證明f（x）遞增，再由奇偶性，即可得到m＞-1．

解答： 解：（1）設t=logax∴x=at，
將x=a^t代入f(logax)=

a(x2-1)

x(a2-1)

中，
得f(t)=

a

a2-1

(at)2-1

at

=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，
由于t的取值范圍為R∴f（x）的定義域為R；
（2）f（x）的定義域為R
又∵f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)∴f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，
故f（x）為奇函數(shù)；                                    
（3）解法一：f(m)+f(1)=

a

a2-1

(am-a-m)+

a

a2-1

(a-a-1)

a

a2-1

[(am+a)-(a-m+a-1)]=

a

a2-1

[(am+a)-

(am+a)

am•a

]=

(am+a)

am(a2-1)

(am+1-1)，
∵a＞0，a≠1∴

am+a

am

＞0，f（m）+f（1）＞0∴

am+1-1

a2-1

＞0，
當0＜a＜1時，a²-1＜0∴a^m+1-1＜0∴m＞-1
當a＞1時，a²-1＞0∴a^m+1-1＞0∴m＞-1
綜上m＞-1；
解法2：先證明f（x）為單調遞增函數(shù)．
設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)
∵a(1+

1

ax1+x2

)＞0，
當0＜a＜1時，a2-1＜0，ax1-ax2＞0∴f(x1)-f(x2)＜0，f（x）為單調遞增函數(shù)
當a＞1時，a2-1＞0，ax1-ax2＜0∴f(x1)-f(x2)＜0，f（x）為單調遞增函數(shù)
綜上f（x）為單調遞增函數(shù)
∵f（m）+f（1）＞0∴f（m）＞-f（1）=f（-1）
∴m＞-1．

點評：本題考查函數(shù)的解析式和定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷及運用，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．