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從1,2,…,30這30個自然數中,每次取不同的三個數,使這三個數的和是3的倍數的取法有多少種?
【答案】分析:把所給的30個數字根據被3除的余數分類,包括余數是1的,余數是2的,和正好能夠整除的,按照三個不同的集合,取數字包括四種情況,根據分類加法原理得到結果.
解答:解:設A={1,4,7,10,…,28},B={2,5,8,11,…,29},
C={3,6,9,…,30}組成三類數集,
有以下四類符合題意:
①A,B,C中各取一個數,有C101C101C101種;
②僅在A中取3個數,有C103種;
③僅在B中取3個數,有C103種;
④僅在C中取3個數,有C103種.
由加法原理得共有C101•C101•C101+3C103=1360種.
即共有1360個數字滿足三個數的和是3的倍數,
點評:按元素的性質分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法,對于某幾個數的和能被某數整除一類的問題,通常是將整數分類,凡余數相同者歸同一類.
練習冊系列答案
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