Question

如圖，A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點，且∠AOB=45°，OE=1，EF=，設∠AOE=α．
（1）寫出△AOB的面積關于α的函數關系式f（α）；
（2）寫出函數f（α）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OE=1，EF=，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要進行分類討論：當α∈[0，]時，△AOB的兩頂點A、B在E、F上；當a∈時，A點在EF上，B點在FG上，從而可求相應的面積f（α），進而得出結論；
（2）由（1）分類求函數的值域：當α∈[0，]時，f（α）=∈[，-1]；當α∈時，f（α）=∈[-，]．故可得結論．
解答：解：（1）∵OE=1，EF=．
∴∠EOF=60°．
當α∈[0，]時，△AOB的兩頂點A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=[tan（45°+α）-tanα]
==．
當a∈時，A點在EF上，B點在FG上，且OA=，OB=．
∴f（α）=S_△AOB=OA•OB•sin45°=••sin45°=
綜上得：f（α）=

（2）由（1）得：當α∈[0，]時，f（α）=∈[，-1]．
且當α=0時，f（α）_min=；α=時，f（α）_max=-1；
當α∈時，-≤2α-≤，f（α）=∈[-，]．
且當α=時，f（α） _min=-；當α=時，f（α） _max=．
所以f（α）∈[，]．
點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查三角函數，同時考查了三角函數的值域問題，綜合性強，其中分類討論是解題的關鍵．