Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率為，F是E的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)和點(diǎn)（）.當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線l：交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作x軸的平行線交直線l于點(diǎn)C.求證：直線過線段的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）通過離心率推出，結(jié)合．轉(zhuǎn)化求解，，求解橢圓的方程．

（2）求出，，得到線段的中點(diǎn)為．①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，說明直線過線段的中點(diǎn)．②當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為，代入，利用韋達(dá)定理設(shè)，，，，，求出的方程為．推出直線系方程，說明直線過線段的中點(diǎn)．

（1）由，得，所以，

因?yàn)橹本�經(jīng)過點(diǎn)F，且，所以根據(jù)對稱性，不妨設(shè).

當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，，

，所以.

由，得，所以，.

所以橢圓E的方程為.

（2）當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，，，，

這時(shí)直線的方程為，即.

令，得，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn).

因?yàn)?/span>，當(dāng)直線不與x軸垂直時(shí)，可設(shè)其方程為，

代入，

整理得.

所以，.

因?yàn)?/span>，，，

所以直線的方程為.

因?yàn)?/span>，，

所以

，

這說明直線過點(diǎn).

綜上可知直線過線段的中點(diǎn).