已知函數(shù)f（x）=
12
x2+1nx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x），求證：[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N+）．
分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)易證明；當(dāng)n≥2時(shí)，對不等式左邊運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開，再用基本不等式即可證明；
解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+
1
x
，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大、最小值分別為f（1）、f（e），
因?yàn)閒（1）=
1
2
，f（e）=
e2
2
+1，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為
e2
2
+1，最小值為
1
2
；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，[g（x）]n-g（xn）=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)
=
C
1
n
xn-1•
1
x
+C
2
n
xn-2•
1
x2
+…
+C
n-1
n
x•
1
xn-1

=
1
2
[C
1
n
(xn-2+
1
xn-2
)
+C
2
n
(xn-4+
1
xn-4
)+…
+C
n-1
n
(
1
xn-2
+xn-2)]，
由已知x＞0，所以：[g（x）]n-g（xn）≥
C
1
n
+C
2
n
+…
+C
n-1
n
=2n-2．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二項(xiàng)式定理、基本不等式等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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