Question

如圖，若A₁B₁C₁—ABC是正三棱柱，D是AC的中點.

（1）證明AB₁∥平面DBC₁；

（2）假設AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱，DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數.

Answer 1

（1）證明：連結B₁C、DC₁、DB、BC₁，并設B₁C∩BC₁=E，連結DE.

∵ABC—A₁B₁C₁為正三棱柱，

則B₁BCC₁為矩形，∴E為B₁C的中點.

又D為AC的中點，

∴DEAB₁，DE平面DBC₁.

∴AB₁∥平面DBC₁.

（2）解析：∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁，作AG⊥BC于G，則AG⊥平面 BCC₁B₁，DF⊥BC于F，則DF⊥平面BCC₁B₁，且DF=AG.

∵AB₁⊥BC₁，AB₁∥DE，

∴DE⊥BC₁，DF⊥平面BCC₁.

∴EF⊥BC₁.

∴∠DEF為二面角DBC₁C的平面角.

在△ABC中，設邊長為a.

EG⊥BF，EF²=FG·FB，EF=a，DF=AG=a，

∴∠DEF=45°.