Question

（2012•陜西三模）已知四個正實數(shù)前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，第一個與第三個的和為8，第二個與第四個的積為36．
（Ⅰ）求此四數(shù)；
（Ⅱ）若前三數(shù)為等差數(shù)列{a_n}的前三項，后三數(shù)為等比數(shù)列{b_n}的前三項，令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可設此四數(shù)為a-d，a，a+d，

(a+d)2

a

，根據(jù)已知條件建立方程可求a，d，進而可求
（2）Cn=8n(

3

2

)n-1，結合數(shù)列的特點，考慮利用錯位相減可求解該數(shù)列的和

解答：解：（1）設此四數(shù)為a-d，a，a+d，

(a+d)2

a

由題意知可得

a-d+a+d=8 a• (a+d)2 a =36

∴a=4，d=2所求四數(shù)為2，4，6，9
（2）由題意可知，數(shù)列{a_n}的首項為2，公差d=2，通項a_n=2+2（n-1）=2n
數(shù)列{b_n}的首項為4，公比q=

3

2

，通項bn=4•(

3

2

)n-1
∴Cn=8n(

3

2

)n-1
∴Tn=8[1•(

3

2

)0+2•

3

2

+…+n•(

3

2

)n-1]

3

2

Tn=8[1•

3

2

+2•(

3

2

)2+…+(n-1)•(

3

2

)n-1+n•(

3

2

)n]    
-

1

2

Tn=8[1+

3

2

+…+(

3

2

)n-1-n•(

3

2

)n]=8× [

1-( 3 2 )n

1- 3 2

-n•(

3

2

)n]
=16(1-n)•(

3

2

)n-16
∴Tn=32+32(n-1)•(

3

2

)n

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質與通項公式的應用，數(shù)列求和中的錯位相減求和方法是數(shù)列求和的重點，要注意掌握