四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD為菱形,且有AB=1,AP=
2
,∠BAD=120°,E為PC中點.
(Ⅰ)證明:AC⊥面BED;
(Ⅱ)求二面角E-AB-C的平面角的余弦值.
分析:(I)因為菱形的對角線互相垂直,所以AC⊥BD,再由△PAC的中位線,得到EO∥PA,結(jié)合PA⊥面ABCD,所以EO⊥面ABCD,從而AC⊥EO.最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,得到AC⊥面BED;
(II)以A為原點,AD、AP所在直線分別為y軸、z軸,建立如圖所示坐標系,則可得到A、B、C、E各點的坐標,從而得到向量
AB
、
AC
、
AE
的坐標,然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法,分別求出平面ABE和平面ABC的一個法向量,結(jié)合空間向量的夾角公式計算出它們的夾角的余弦值.最后根據(jù)題意,二面角E-AB-C是銳二面角,得到二面角E-AB-C平面角的余弦值為余兩個法向量夾角余弦的絕對值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)O為底面ABCD的中心,連接EO,
∵底面ABCD為菱形,∴AC⊥BD
∵△PAC中,E、O分別是PC、PA的中點
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD,
∴EO⊥面ABCD
∵AC?面ABCD,∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED內(nèi)的兩條相交直線
∴AC⊥面BED(6分)
(Ⅱ)以A為原點,AD、AP所在直線分別為y軸、z軸,建立如圖所示坐標系,則可得A(0,0,0),B(
3
2
,-
1
2
,0),C(
3
2
1
2
,0),E(
3
4
,
1
4
,
2
2
)

AB
=(
3
2
,-
1
2
,0),
AE
=(
3
4
,
1
4
,
2
2
),
AC
=(
3
2
,
1
2
,0)
(8分)
設(shè)
n1
=(x1,y1z1)
是平面ABE一個法向量
n1
AB
=x1
3
2
+y1•(-
1
2
)+z1•0=0
n1
AE
=x1
3
4
+y1
1
4
+z1
2
2
=0     
,解得
y1=
3
x1
z1=-
6
2
x1

所以取x1=1,y1=
3
,z1=-
6
2
,可得
n1
=(1,
3
,-
6
2
)
,
因為PA⊥平面ABC,所以向量
PA
即為平面ABC的一個法向量,設(shè)
PA
=
n2
=(0,0,
2
)
(10分)
cos<n1n2>=
n1
n2
|n1|
|n2|
=
-
6
2
×
2
 
  1+3+
3
2
2
=-
33
11

根據(jù)題意可知:二面角E-AB-C是銳二面角,其余弦值等于|cos<n1,n2>|=
33
11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值為
33
11
.(12分)
點評:本題給出底面為菱形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,證明線面垂直并且求二面角所成角的余弦之值,著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和用空間向量求平面間的夾角的知識點,屬于中檔題.
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2
,PA=2,求:
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12
,AD=1.
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(1)求證:PA∥平面MDB;
(2)求證:AD⊥平面PQB;
(3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M為PC的中點,求四棱錐M-ABCD的體積.

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