如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱上.

（1）求證：平面平面；
（2）當(dāng)，且時，確定點的位置，即求出的值.
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.
（1）詳見解析；(2) ；(3).

試題分析：（1）證面面垂直，先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面？因為ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可證平面，從而使問題得證.
(2)設(shè)AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即為三棱錐的高.由條件易得.
因為，所以可求出底面的面積.又因為PD=2，所以可求出點E到邊PD的距離，從而可確定點E的位置.
(3)在本題中作二面角的平面角較麻煩，故考慮建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量求解.
試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形ABCD，.
平面,平面，所以.
，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
(2) 設(shè).,.

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=
中斜邊PB的高h(yuǎn)=

即E為PB的中點.
(3) 連接OE，因為E為PB的中點，所以平面.以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(xiàn)(0,-1,) ， D(0,-1,0).
平面EFD的法向量為
設(shè)為面AEF的法向量。

令y=1,則

所以二面角A-EF-D的余弦值為
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=900，PA=PB，PC=PD.

(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直，并簡述理由；
（II）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)若為的中點，求與平面所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，，為的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在梯形中，,，,平面平面,四邊形是矩形,,點在線段EF上.

(1)求異面直線與所成的角；
(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上的動點，且，交于，把沿折起，如下圖所示，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，,點分別為和的中點.

（1）證明：平面；
（2）求和所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO為四棱錐P﹣ABCD的高，且，E、F分別是BC、AP的中點．

（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F﹣PCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，,平面底面，為中點，M是棱PC上的點，．

（1）若點M是棱PC的中點，求證：平面；
（2）求證：平面底面；
（3）若二面角M-BQ-C為，設(shè)PM=tMC，試確定t的值．

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