Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

2

x2+

1

2

x-3的圖象上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=nan(n∈N*)，求證：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

2

x2+

1

2

x-3的圖象上，可得S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n-3，再寫一式，兩式相減，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將（1）的結(jié)論代入，再采用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵點(diǎn)（a_n，S_n）在函數(shù)y=

1

2

x2+

1

2

x-3的圖象上，
∴S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n-3；S_n-1=

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1-3（n≥2）
∵S_n-S_n-1=a_n，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)
∴a_n-a_n-1-1=0（n≥2）
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
∵S₁=a₁=

1

2

a₁²+

1

2

a₁-3
∴a₁=3
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n
（2）證明：b_n=na_n=n（n+2）
∴

1

bn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運(yùn)用，求通項(xiàng)中，再寫一式，兩式相減是常用方法．