Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-bx+1，分別從集合P和Q中隨機取一個數a和b得到數列（a，b）．
（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，列舉出所有的數對（a，b），并求函數y=f（x）有零點的概率；
（2）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|-1≤x≤4，x∈R}，求函數y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

解：（1）∵函數y=f（x）有零點，則△=b²-4a≥0即4a≤b²
如圖，4a≤b²包含6個點：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b²包含基本事件的個數是6個，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6個點，
∴所求事件的概率為=；
（2）函數f（x）=ax²-bx+1的圖象的對稱軸為x=，
當且僅當b≤2a且a＞0時，
函數f（x）=ax²-bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為；
P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，
構成所求事件的區(qū)域為長方形部分．
而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的區(qū)域為圖中的陰影部分．
∴所求事件的概率為P===．
分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有15種情況，又因為函數y=f（x）有零點，所以根的判別式大于等于零得到a=2b²，而a=2b²占2種情況，所以即可求得函數y=f（x）有零點的概率；
（2）本小題是一個幾何概型的概率問題，先根據函數是增函數，得到試驗發(fā)生包含的事件對應的區(qū)域和滿足條件的事件對應的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計算公式得到結果．
點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．