Question

異面直線a，b所成的角為60°，過空間點P作線c與它們都成60°，則線c的條數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：作出過P與a、b分別平行的兩條直線a'、b'，則a'、b'所成銳角即為異面直線a、b所成角．設直線a'、b'確定的平面為α，通過討論可知：在平面α內(nèi)有一條直線與a'、b'都成60°角，在平面α外有兩條直線與a'、b'都成60°角．最后結合異面直線所成角的定義，即可得到過點P與a、b也都成60°的角直線可以作3條．

解答：解：過P作a'∥a，b'∥b，設直線a'、b'確定的平面為α，
∵異面直線a、b成60°角，∴直線a'、b'所成銳角為60°．
①當直線l在平面α內(nèi)時，
若直線l平分直線a'、b'所成的鈍角，
則直線l與a、b都成60°角；
②當直線l與平面α斜交時，
若它在平面α內(nèi)的射影恰好落在
直線a'、b'所成的銳角平分線上時，直線l與a、b所成角相等．
此時l與a'、b'所成角的范圍為[30°，90°]，
適當調(diào)整l的位置，可使直線l與a、b也都成60°角，這樣的直線l有兩條．
綜上所述，過點P與a'、b'都成60°角的直線，可以作3條
∵a'∥a，b'∥b，
∴過點P與a'、b'都成60°角的直線，與a、b也都成60°的角．
故答案為：3

點評：本題給出兩條異面直線的所成角，要我們找出與它們成60度角的第三條直線有幾條，著重考查了線面垂直、直線與平面所成角和異面直線所成角等知識，屬于中檔題．