Question

f（x）=x³+3ax+3x+1
（1）當a=-

2

時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[2，+∞）時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）代入求出f（x）的表達式，再根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出f（2）≥0時a的范圍，再證明函數(shù)單調(diào)性，問題得以解決．

解答： 解：（1）當a=-

2

時，f（x）=x³-3

2

x+3x+1，
∴f′（x）=3x²-3

2

+3，
令f′（x）=0，解得x=±

2 -1

，
當f′（x）＞0，即x＞

2 -1

時，或x＜-

2 -1

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，即-

2 -1

＜x＜

2 -1

時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-

2 -1

），（

2 -1

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

2 -1

，

2 -1

）上單調(diào)遞減．
（2）∵f（2）≥0，解得a≥-

5

2

，
當x∈（2，+∞）時，
∵f′（x）=3（x²+a+1），
∴f′（2）=3（a+5）＞0，
解得a＞-5，
故當a≥-

5

2

，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，于是當x∈[2，+∞）時，f（x）≥f（2）≥0，
綜上可得，a的取值范圍是[-

5

2

，+∞）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)的最值問題，屬中檔題．