Question

如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面對(duì)角線AB₁，BC₁上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B₁E＝C₁F.求證：EF∥平面ABCD.

Answer 1

見解析

證明：方法一：過(guò)E作EM⊥AB于M，過(guò)F作FN⊥BC于N，連接MN，如圖所示，則EM∥BB₁，F(xiàn)N∥BB₁，

∴EM∥FN.
∵AB₁＝BC₁，B₁E＝C₁F，
∴AE＝BF，
∴＝，
＝＝，
∴＝.
又∵BB₁＝CC₁，∴EM＝FN，
∴四邊形EMNF是平行四邊形，
∴EF∥MN.
又∵EF?平面ABCD，MN?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
方法二：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BB₁于點(diǎn)H，連接FH，如圖所示，則EH∥AB，所以＝.

∵AB₁＝BC₁，B₁E＝C₁F，
∴＝，
∴＝，
∴FH∥B₁C₁.
∵B₁C₁∥BC，∴FH∥BC.
∵EH∩FH＝H，
∴平面EFH∥平面ABCD.
∵EF?平面EFH，
∴EF∥平面ABCD.