如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,,E為CC1的中點(diǎn),AC∩BD=O.
(Ⅰ) 證明:OE∥平面ABC1;
(Ⅱ)證明:A1C⊥平面BDE.

【答案】分析:(Ⅰ) 證明OE∥AC1,然后利用直線與平面平行的判定定理證明OE∥平面ABC1;
(Ⅱ)連接A1C1,證明A1C⊥AC1,A1C⊥OE,證明BD⊥平面A1C,然后證明A1C⊥平面BDE.
解答:解:(1)證明:因為EC1=EC,AO=OC.所以O(shè)E∥AC1
因為AC1?平面ABC1,OE?平面ABC1,所以O(shè)E∥平面ABC1;
(Ⅱ)連接A1C1,因為AB=a所以A1C1=a.
所以四邊形ACC1A1為正方形,所以A1C⊥AC1,
因為OE∥AC1
所以A1C⊥OE,
又因為BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A
所以BD⊥平面AA1C,所以BD⊥A1C,
又因為OE∩BD=O,所以A1C⊥平面BDE.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行,直線與平面垂直,考查判定定理的應(yīng)用,考查空間想象能力,邏輯推理能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=4,AB=2,E是棱CC1上的一個動點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE∥平面AA1D1D;
(Ⅱ)當(dāng)CE=1時,求二面角B-ED-C的大;
(Ⅲ)當(dāng)CE等于何值時,A1C⊥平面BDE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中(底面是正方形的直棱柱),側(cè)棱AA′=
3
,AB=
2
,則二面角A′-BD-A的大小為( 。
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•青島一模)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AA1=
2
a
,E為CC1的中點(diǎn),AC∩BD=O.
(Ⅰ) 證明:OE∥平面ABC1;
(Ⅱ)證明:A1C⊥平面BDE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A(x0,y0)AB=2,點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1;
(Ⅱ)求幾何體B-CME的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•宜昌模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2.過頂點(diǎn)D1在空間作直線l,使l與直線AC和BC1所成的角都等于60°,這樣的直線l最多可作( 。

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