Question

已知函數(shù)滿足,對于任意R都有,且 ,令.求函數(shù)的表達式；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）研究函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)。

Answer 1

(1) 解：∵，∴.     ∵對于任意R都有,

∴函數(shù)的對稱軸為，即，得.又，即對于任意R都成立，∴,且．　∵，      ∴．　∴．  (2) 解：  ① 當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．② 當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．   (3)解：① 當(dāng)時，由(2)知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

　　　　　又，　故函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點． ② 當(dāng)時，則，而，，（ⅰ）若，由于，

且，

此時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；（ⅱ）若，由于且，此時，函數(shù)在區(qū)間 上有兩個不同的零點　綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；

　　　　當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點．