Question

下列4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　　）
①如果a＞0且a≠1，那么log_af（x）=log_ag（x）的充要條件是a^f（x）=a^g（x）
②如果A、B為△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，那么A＞B的充要條件是sinA＞sinB
③如果向量

a

與向量

b

均為非零向量，那么(

a

•

b

)2=

a

2•

b

2
④函數(shù)f(x)=

sin2x+2

|sinx|

的最小值為2

2

．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；
②由A、B為△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，由B＜A?b＜a?sinB＜sinA即可判斷出；
③利用數(shù)量積的定義可得(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2cos2＜

a

，

b

＞≠

a

2×

b

2，即可判斷出；
④利用基本不等式即可判斷出．

解答： 解：①由a＞0且a≠1，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：
log_af（x）=log_ag（x）⇒a^f（x）=a^g（x），反之不一定成立，如當(dāng)f（x）=g（x）＜0時(shí)，
因此a^f（x）=a^g（x）是log_af（x）=log_ag（x）的必要不充分條件．因此不正確；
②由A、B為△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，且B＜A，∴b＜a．
根據(jù)正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinB＜sinA．反之也成立．
因此A＞B的充要條件是sinA＞sinB．因此②正確．
③如果向量

a

與向量

b

均為非零向量，那么(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2cos2＜

a

，

b

＞≠

a

2×

b

2，因此不正確．
④函數(shù)f(x)=

sin2x+2

|sinx|

=|sinx|+

2

|sinx|

＞2

2

，因此不正確．
綜上可知：只有②正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積的定義、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．