已知向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），若存在非零實(shí)數(shù)k，t使得
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求：
k+t2
t
的最小值．
分析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和性質(zhì)，分別求出|
a
|=2，|
b
|=1且
a
•
b
=0，由此將
x
•
y
=0化簡(jiǎn)整理得到k=
1
4
（t3-3t）．將此代入
k+t2
t
，可得關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到
k+t2
t
的最小值．
解答：解：∵
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
），
∴|
a
|=
(
3
)2+(-1)2
=2，|
b
|=
(
1
2
)2+(
3
2
)2
=1，且
a
•
b
=
3
×
1
2
+（-1）×
3
2
=0
∵
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，
∴
x
•
y
=0，即（
a
+（t2-3）
b
）（-k
a
+t
b
）=0
展開并化簡(jiǎn)，得-k
a
2+（-kt2+3k+t）
a
•
b
+t（t2-3）
b
2=0
將|
a
|=2、|
b
|=1和
a
•
b
=0代入上式，可得
-4k+t（t2-3）=0，整理得k=
1
4
（t3-3t）
∴
k+t2
t
=
1
4
(t3-3t)+t2
t
=
1
4
t2+t-
3
4
=
1
4
（t+2）2-
7
4

由此可得，當(dāng)t=-2時(shí)，
k+t2
t
的最小值等于-
7
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求
k+t2
t
的最小值．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、運(yùn)算性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（-3，2），
b
=（-1，0），且向量λ
a
+
b
與
a
-2
b
垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為
-
1
7
-
1
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•天河區(qū)三模）設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量
a
=(x+
3
，my)，向量
b
=(x-
3
，y)，
a
⊥
b
，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程，并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀；
（II） 已知m=
3
4
，F(xiàn)（0，-1），直線l：y=kx+1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•眉山二模）已知向量
a
=(2x-3，1)，
b
=(x，-2)，若
a
•
b
≥0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是
（-∞，-
1
2
]∪[2，+∞）
（-∞，-
1
2
]∪[2，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（-3，4），
b
=（2，-1），λ為實(shí)數(shù)，若向量
a
+λ
b
與向量
b
垂直，則λ=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（3，1），
b
=（k，3），若
a
⊥
b
，則k=
 
．

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