Question

定義在R上的函數f（x）為奇函數，且在[0，+∞）為增函數，對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是 ________．

Answer 1

分析：本題是利用函數的單調性將抽象不等式變?yōu)槿遣坏仁�，再由三角函數的有界性求參數m的范圍，本題中為了利用函數的單調性轉化不等式需要根據函數的奇偶性將不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0變?yōu)閒（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ），方便利用單調性轉化．
解答：∵函數f（x）為奇函數且在[0，+∞）為增函數，易知函數f（x）為在（-∞，0]上遞增，
∴函數f（x）在（-∞，+∞）上遞增；
不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立
?不等式f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ）恒成立
?不等式cos2θ-3＞-2m+sinθ恒成立
?2m＞2sin²θ+sinθ+2恒成立，
記g（θ）=2sin²θ+sinθ+2=2（sinθ+）²+，
g（θ）_max=g（1）=5
∴2m＞5?m＞．
故答案為
點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性的綜合，考查綜合利用函數的奇偶性與單調性研究不等式恒成立時參數的取值范圍，本題利用函數的性質將不等式恒成立求參數的問題轉化為求函數最值的問題，本題中轉化后求最值要注意三角函數的有界性，求解本題時兩次利用轉化的思想，第一次是將不等式轉化為三角不等式，第二次是將三角不等式轉化為求二次函數在某個區(qū)間上的最值，解題時要注意理解、領會本題中的轉化策略及理論依據．