Question

近日國內(nèi)某大報紙有如下報導(dǎo)：

加薪的學(xué)問 學(xué)數(shù)學(xué)，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密．在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目：老板給出兩個加工資的方案，一是每年年末加一千；二是每半年結(jié)束時加300元，請選一種．一般不擅長數(shù)學(xué)的，很容易選前者，因為一年加一千元總比兩半年共600元要多．其實，由于加工資是累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如，在二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600元，第二年加得900+1200=2100元，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一方案可得1000+2000+3000=6000元，第二種方案則為300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年、第五年會更多．因此，你若會在該公司工作三年以上，則應(yīng)選擇第二方案．根據(jù)以上材料，解答下列問題： （1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪水多少元？ （2）如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，問a取何值時，總是選擇第二方案比選擇第一方案多加薪？ 試題答案 練習(xí)冊答案 在線課程 分析：（1）第一方案、第二方案的加薪額都是遞增的等差數(shù)列，到第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20；在該公司干滿10年，作差比較可知，第二方案比第一方案多加薪多少； （2）第n年（n∈N*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，即等差數(shù)列的前n項和：2na+ 2n(2n-1) 2 a＞1000n+ n(n-1) 2 ×1000，整理得a＞ 500(n+1) 2n+1 ，右邊=250(1+ 1 2n+1 )，對于n∈N*時恒成立，存在最大值，從而得出a的取值范圍． 解答：解：（1）由題意，第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構(gòu)成等差數(shù)列 第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元， 第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元， 所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元； （2）由題意，第n年（n∈N*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多， 則由等差數(shù)列的前n項和公式：2na+ 2n(2n-1) 2 a＞1000n+ n(n-1) 2 ×1000 化簡得a＞ 500(n+1) 2n+1 =250(1+ 1 2n+1 )，對于n∈N*時恒成立， 又當(dāng)n=1時， 1 2n+1 取最大值 1 3 ，此時250(1+ 1 2n+1 )取得最大值 1000 3 ；所以， 當(dāng)a＞ 1000 3 時選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪． 點評：本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查了數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的實際應(yīng)用，是中高檔題． 練習(xí)冊系列答案 練出好成績系列答案 全效學(xué)習(xí)課時提優(yōu)系列答案 非常1加1系列答案 課時掌控系列答案 樂享導(dǎo)學(xué)練習(xí)系列答案 快樂5加2課課優(yōu)優(yōu)系列答案 全科王同步課時練習(xí)系列答案 高效通教材精析精練系列答案 課堂導(dǎo)練1加5系列答案 探究在線高效課堂系列答案 年級 高中課程 年級 初中課程 高一 高一免費課程推薦！ 初一 初一免費課程推薦！ 高二 高二免費課程推薦！ 初二 初二免費課程推薦！ 高三 高三免費課程推薦！ 初三 初三免費課程推薦！ 更多初中、高中輔導(dǎo)課程推薦,點擊進(jìn)入>> 相關(guān)習(xí)題 科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型： 15、某校學(xué)生會有如下部門：文娛部、體育部、宣傳部、生活部、學(xué)習(xí)部，請畫出學(xué)生會的組織結(jié)構(gòu)圖． 查看答案和解析>> 科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型： 已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的掌握程度y與學(xué)習(xí)時間t（單位時間）之間的關(guān)系為y=f（t）= 1 1+a•2-bt •100%，這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學(xué)習(xí)曲線”．已知這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù)：t=4，y=50%；t=8，y=80%． （Ⅰ）試確定該項學(xué)習(xí)任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式f（t）； （Ⅱ）若定義在區(qū)間[x1，x2]上的平均學(xué)習(xí)效率為η= y2-y1 x2-x1 ，問這項學(xué)習(xí)任務(wù)從哪一刻開始的2個單位時間內(nèi)平均學(xué)習(xí)效率最高． 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查看答案和解析>> 科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型： 某校學(xué)生會有如下部門：文娛部、體育部、宣傳部、生活部、學(xué)習(xí)部，請畫出學(xué)生會的組織結(jié)構(gòu)圖． 查看答案和解析>> 科目：高中數(shù)學(xué) 來源：教材完全解讀　高中數(shù)學(xué)　必修5(人教B版課標(biāo)版) 人教B版課標(biāo)版 題型：044 近日國內(nèi)某大報紙有如下報道： 加薪的學(xué)問 學(xué)數(shù)學(xué)，其實是要使人聰明，使人思維更加縝密．在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目是：老板給你兩種加工資的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元．請選一種．一般不擅數(shù)學(xué)的，很容易選前者，因為一年加1000元總比兩個半年共加600元要多．其實，由于加工資是累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如：在第二年的年末依第一方案可以加得1000＋2000＝3000(元)；而第二種方案在第一年加得300＋600＝900(元)，第二年加得900＋1200＝2100(元)，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一方案加得1000＋2000＋3000＝6000(元)；第二方案則為300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300(元)，比第一方案多了300元．第四年、第五年會更多．因此，你若能在該公司干三年以上，則應(yīng)選第二方案． 根據(jù)以上材料，如果在該公司干10年，問：選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？ 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Answer 1

分析：（1）第一方案、第二方案的加薪額都是遞增的等差數(shù)列，到第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20；在該公司干滿10年，作差比較可知，第二方案比第一方案多加薪多少；
（2）第n年（n∈N^*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，即等差數(shù)列的前n項和：2na+

2n(2n-1)

2

a＞1000n+

n(n-1)

2

×1000，整理得a＞

500(n+1)

2n+1

，右邊=250(1+

1

2n+1

)，對于n∈N^*時恒成立，存在最大值，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構(gòu)成等差數(shù)列
第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）由題意，第n年（n∈N^*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，
則由等差數(shù)列的前n項和公式：2na+

2n(2n-1)

2

a＞1000n+

n(n-1)

2

×1000
化簡得a＞

500(n+1)

2n+1

=250(1+

1

2n+1

)，對于n∈N^*時恒成立，
又當(dāng)n=1時，

1

2n+1

取最大值

1

3

，此時250(1+

1

2n+1

)取得最大值

1000

3

；所以，
當(dāng)a＞

1000

3

時選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪．

點評：本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查了數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的實際應(yīng)用，是中高檔題．