Question

（2011•邢臺(tái)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設(shè)h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的圖象上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≥

1

2

成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于h′（x）=

x-a

x2

，由h′（x）＞0，可求其單調(diào)增區(qū)間，h′（x）＜0可求其單調(diào)減區(qū)間；
（2）依題意，以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立?a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]），求得(-

1

2

x02+x0)max即可．

解答：解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，令h′（x）=

x-a

x2

=0，則x=a
于是，當(dāng)x＞a時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜a時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
∴h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），h（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，a）．
（2）∵h(yuǎn)′（x₀）=

x0-a

x02

=k，
∴在區(qū)間（0，3]上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率h′（x₀）=k=

x0-a

x02

≥

1

2

成立，
即a≤-

1

2

x02+x₀，等價(jià)于a≤(-

1

2

x02+x0)max（x∈（0，3]）．
∵-

1

2

x02+x₀=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
∴(-

1

2

x02+x0)max=

1

2

．
于是a≤

1

2

，即a的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查分析問(wèn)題與等價(jià)轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．