Question

已知函數(shù)（a，b，c∈N）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f（2）=2，f（3）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1．求證：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）定義函數(shù)G（x）=f（x）-x+2．當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，求證：G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的圖象按向量
平移后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式為
因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴g（-x）=-g（x），即
∵a∈N，∴ax²+1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0
∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由條件知a=1，b=1
（2）∵f（x）=，∴f（tx+1）=tx+
∴|f（tx+1）|=|tx+|=|tx|+||≥2=2
當(dāng)且僅當(dāng)|tx|=1時(shí)等號(hào)成立．
但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．
由于S=（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
當(dāng)|t|≥|x|時(shí)，S=4t²≤4；當(dāng)|t|＜|x|時(shí)S=4x²＜4．
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=
令A(yù)=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=
由不等式（b＞a，a，b，m∈R⁺），
得
將這些同向不等式相乘得


故A＞，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．
分析：（1）函數(shù)f（x）的圖象按向量平移后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)式為，因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，g（-x）=-g（x），即．由此結(jié)合題設(shè)條件能導(dǎo)出a=1，b=1．
（2）由f（tx+1）=tx+，知|f（tx+1）|=|tx+|=|tx|+||≥2=2，再由0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．由此能夠證明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（3）由G（x）=f（x）-x+2=，令A(yù)=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=，由不等式（b＞a，a，b，m∈R⁺），得．由此能夠證明G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．