Question

已知圓錐曲線E：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=c²+1（c＞0，c≠1）的離心率為e=

3

2

，過原點O的直線與曲線E交于P、A兩點，其中P在第一象限，B是曲線E上不同于P、A的點，直線PB、AB的斜率分別為k₁、k₂，且k₁k₂≠0．
（Ⅰ）求圓錐曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）已知F為圓錐曲線E的右焦點，若PA⊥PB，且存在λ∈R使

AF

=λ

BF

，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）首先，設(shè)點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M（x，y），然后，結(jié)合給定的條件，得到|MF₁|+|MF₂|=c²+1＞|F₁F₂|=2c，從而，得到其軌跡是一個橢圓，然后利用待定系數(shù)法確定其方程；
（Ⅱ）首先，可以設(shè)點P（x₀，y₀），根據(jù)橢圓的對稱性，得點A（-x₀，-y₀），點B（x₁，y₁），然后，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和斜率公式進(jìn)行化簡求解；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）得F（

3 2

5

，0），設(shè)直線PB的斜率為k，k＜0，得到直線PA的斜率為-

1

k

，直線AB的斜率為-

1

4k

，直線PA的方程為：y=-

1

k

x，直線AB的方程為：y=-

1

4k

（x-

3 2

5

），然后，利用直線與橢圓相交，求點A坐標(biāo)，再借助于斜率公式建立等式，求解斜率k的值，然后，寫出直線AB的方程即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M（x，y），
∵

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=c²+1（c＞0，c≠1），
∴|MF₁|+|MF₂|=c²+1＞|F₁F₂|=2c，
∴點M的軌跡是一個以F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為焦點的橢圓，
設(shè)其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=c²+1，①
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

2

a  ②，
根據(jù)①②得，
a=2，c=

3

，或a=

2

3

，c=

3

3

；
∴b²=a²-c²=1或b²=a²-c²=

1

9

，
∴b=1或

1

3

∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4

+y²=1或

x2

4 9

+

y2

1 9

=1；
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），根據(jù)橢圓的對稱性，得點A（-x₀，-y₀），
設(shè)點B（x₁，y₁），則y02=1-

1

4

x02，y12=1-

1

4

x12，
k₁=

y1-y0

x1-x0

，
k₂=

y1+y0

x1+x0

，
∴k₁•k₂=

y12-y02

x12-x02

，
=

- 1 4 (x12-x02)

x12-x02

，
=-

1

4

，
∴k₁•k₂=-

1

4

．
（Ⅲ）由已知設(shè)P（m，n），又由A、P關(guān)于原點對稱，則A的坐標(biāo)為（-m，-n）；
當(dāng)E的方程為

x2

4

+y²=1時，
F（

3

，0），k₂=

n

3 +m

，k₁=-

3 +m

n

；
∵PA⊥PB，（

3 +m

n

）•

n

m

=-1，得m=

3

3

；
易得n=

33

6

，k₂=

11

8

，
AB所在直線的方程為y=

11

8

（x-

3

），
同理，當(dāng)E的方程為

x2

4 9

+

y2

1 9

=1；可得AB所在直線的方程為y=

11

8

（x-

3

），
故AB所在直線的方程為y=

11

8

（x-

3

）．

點評：本題重點考查了橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量等知識，屬于綜合性題目，難度中等，屬于中檔題．