已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)；

(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長度．并求此時(shí)m的值．

答案：
解析：

　　(1)證明：直線方程可化為(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，m∈R，這表明此直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，由得定點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，1)．

　　又(3－1)2＋(1－2)2＜25，

　　所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，直線l一定與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．

　　(2)解：當(dāng)圓心與點(diǎn)A的連線與過A的弦垂直時(shí)，截得的弦長最短，

　　∴．

　　解之，得m＝－．


提示：

說明直線與圓恒相交，只要說明直線恒過圓內(nèi)一點(diǎn)，所以求出直線l所過的定點(diǎn)，此定點(diǎn)在圓內(nèi)，問題(1)即得證；直線被圓截得的弦中最短的一條就是過定點(diǎn)且與過定點(diǎn)的直徑垂直的弦，其斜率可由直徑的斜率求得．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二4.2直線、圓的位置關(guān)系練習(xí)卷（一） 題型：解答題

已知圓C：(x－1) ＋(y－2) =25,直線L：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R)

(1)證明:無論m取什么實(shí)數(shù)，L與圓恒交于兩點(diǎn).

(2)求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)L的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆吉林省長春市高一上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．

(1)證明：直線l與圓相交；

(2)求直線l被圓截得的弦長最小時(shí)的直線l的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2=2，點(diǎn)P(2，－1)，過P點(diǎn)作圓C的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn).

(1)求PA、PB所在直線的方程；

(2)求切線長|PA|；

(3)求∠APB的正弦值；

(4)求AB的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：(x－1)2＋y2＝1與直線l：x－2y＋1＝0相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝　　　　.

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同步練習(xí)冊(cè)答案