Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且短軸長為2．
（I）求橢圓方程；
（II）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線交橢圓于A、B兩點，試將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（I）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且短軸長為2，確定幾何量，從而可求橢圓方程；
（II）分m=1，m=-1及m≠±1，分別求出|AB|的長度，利用直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到k與m之間關(guān)系等式，利用弦長公式求得弦長，再利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，且短軸長為2
∴

c

a

=

3

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a²=4
∴橢圓方程為

x2

4

+y2 =1
（II）由題意知：|m|≥1，
當m=1時，切線l的方程為x=1，點A（1，

3

2

）  點B（1，-

3

2

） 此時|AB|=

3

；
當m=-1時，同理可得|AB|=

3

；
當m≠±1時，設(shè)切線l的方程為：y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2 4 +y2 =1

可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1•x2=

4k2m2-4

1+4k2

，
∵l與圓x²+y²=1相切
∴圓心到直線l的距離等于圓的半徑，即

|km|

1+k2

=1
∴m=

1+k2

k2

，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]

=

(1+k2)•[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2

=

4 3 |m|

m2+3

由于當m=±1時，|AB|=

3

，
當m≠±1時，|AB|=

4 3 |m|

m2+3

，此時m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
又|AB|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，（當且僅當m=±

3

時，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值為2．
故|AB|的最大值為2．

點評：本題重點考查了橢圓及圓的標準方程，考查了點到直線的距離公式，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用整體代換的思想建立m與k的關(guān)系等式是解題的關(guān)鍵．