Question

12．已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x³+x²（x-lnx）-16x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）求證：g（x）＞-20．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）求出g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），設(shè)h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
由f′（x）=0得x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；      
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；    
∴x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，
故f（x）的極小值是1．
（2）證明：由（1）得：f（x）≥1，
∴g（x）≥x³+x²-16x，（x＞0），當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
設(shè)h（x）=x³+x²-16x，（x＞0），
則h′（x）=（3x+8）（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴h（x）_min=h（2）=-20，
∴h（x）≥-20，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立，
因取條件不同，
故g（x）＞-20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．