Question

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|k恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得，k≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，再由

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值是2，可得，k≤2，由此可得k的值．

解答： 解：不等式|a+b|+|a-b|≥k•|a|恒成立，
即k≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，
∴k恒小于或等于右邊的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（a+b）≥0時(shí)等號(hào)成立，
即|a|≥|b|時(shí)，等號(hào)成立，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值是2，
∴k≤2，即實(shí)數(shù)k的最大值是2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．