Question

已知函數(shù)，h（x）=2alnx，.
（1）當a∈R時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意的，且，都有
恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）不存在.

試題分析：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，在定義域內(nèi)研究其導函數(shù)的符號即可.先求導函數(shù)
，因為定義域為，故只需討論分子符號，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象判斷，此時①需討論交點的大小，②注意根與定義域比較，所以需和-2和0比較大��；（2）由對稱性，不妨設，去分母得，構(gòu)造函數(shù)，則其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故在恒成立，而，分子二次函數(shù)開口向上，不可能永遠小于0，故不存在.
試題解析：(1)，∴ , 的定義域為.
①當時，在上是減函數(shù)，在在上是增函數(shù)；
②當時，在上是增函數(shù)；在是是減函數(shù)；在上是增函數(shù)；
③當時，在上是增函數(shù)；
④當時，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù).
（2）假設存在實數(shù)，對任意的，且，都有恒成立，不妨設，要使，即.
令 ，只要在為減函數(shù).
又，由題意在上恒成立，得不存在.