Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當x∈[1，4]時，求f（x）的最小值；
（3）是否存在實數(shù)a，對于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立？若存在，求實數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a=1，∴函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴函數(shù)的值域為[-4，+∞）．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，對稱軸為x=a．
當a＜1時，在區(qū)間[1，4]上函數(shù)單調遞增，∴函數(shù)f（x）最小值為f（1）=1-2a-3a²；
當1≤a≤4時，函數(shù)f（x）在[1，a]上單調遞減，在[a，4]上單調遞增，∴函數(shù)f（x）最小值為f（a）=-4a²；
當a＞4時，在區(qū)間[1，4]上函數(shù)單調遞減，∴函數(shù)f（x）最小值為f（4）=16-8a-3a²；
（3）對于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等價于對于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立
由（2）知，或或
∴或a=1
∴．
分析：（1）把二次函數(shù)f（x）的解析式配方，利用配方法求函數(shù)的值域．
（2）配方，確定函數(shù)的對稱軸，根據區(qū)間[1，4]，分類討論，可求函數(shù)f（x）最小值；
（3）對于任意x∈[1，4]，f（x）≥-4a恒成立，等價于對于任意x∈[1，4]，f（x）_min≥-4a恒成立，故可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，函數(shù)的恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．