Question

若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=9，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（a_n+1）}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)積為T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記b_n=

lgTn

lg(an+1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，并求使S_n＞4026的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出an+1+1=(an+1)2，從而能證明{a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)能證明數(shù)列{lg（a_n+1）}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1，從而得到lgT_n=2⁰+2+2²+…+2^n-1，由此利用等比數(shù)列求和公式能求出結(jié)果．
（Ⅲ）由bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，求出Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

，由此能求出使S_n＞4026的n的最小值．

解答： （Ⅰ）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，
∴an+1=an2+2an，
∴an+1+1=(an+1)2，
∴{a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．…（2分）
對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
∴數(shù)列{lg（a_n+1）}是以{lg（a₁+1）}為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1…（5分）
∴l(xiāng)gT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）
=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=2⁰+2+2²+…+2^n-1
=

1•(1-2n)

1-2

=2n-1．…（8分）
（Ⅲ）解：∵bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1…（9分）
∴Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

…（10分）
又S_n＞4026，即2n-2+

1

2n-1

＞4026，n+

1

2n

＞2014…（11分）
又0＜

1

2n

＜1，∴n_min=2014．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查“平方遞推數(shù)列”和等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，考查最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用．