Question

某商場(chǎng)因管理不善及場(chǎng)內(nèi)設(shè)施陳舊，致使年底結(jié)算虧損，決定從今年開(kāi)始投入資金進(jìn)行整，計(jì)劃第一個(gè)月投入80萬(wàn)元，以后每月投入將比上月減少

1

5

．第一個(gè)月的經(jīng)營(yíng)收入約為40萬(wàn)元，預(yù)計(jì)以后每個(gè)月收入會(huì)比上個(gè)月增加

1

4

．
（1）設(shè)n個(gè)月內(nèi)的總投入為a_n萬(wàn)元，總收入為b_n萬(wàn)元，寫(xiě)出a_n，b_n
（2）問(wèn)經(jīng)過(guò)幾個(gè)月后商場(chǎng)開(kāi)始扭虧為盈．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)計(jì)劃第一個(gè)月投入80萬(wàn)元，以后每月投入將比上月減少

1

5

，可知投入組成以80 為首項(xiàng)，

4

5

為公比的等比數(shù)列；第一個(gè)月的經(jīng)營(yíng)收入約為40萬(wàn)元，預(yù)計(jì)以后每個(gè)月收入會(huì)比上個(gè)月增加

1

4

，可知收入組成以40 為首項(xiàng)，

5

4

為公比的等比數(shù)列，從而可求；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)列，可得bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)，從而可解．

解答：解：（1）由題意可得：an=80+80×(

4

5

)+80×(

4

5

)2+…+80×(

4

5

)n-1=80×

1-( 5 4 )n-1

1- 4 5

=400×(1-(

4

5

)n-1)；bn=40+40×(

5

4

)+40×(

5

4

)2+…+40×(

5

4

)n-1=40×

1-( 5 4 )n-1

1- 5 4

=160((

5

4

)n-1-1)
（2）由題意：bn＞an?400×(1-(

4

5

)n-1)＞160((

5

4

)n-1-1)
令(

5

4

)n-1=t，t≥1，上式等價(jià)于2(t-1)＞5(1-

1

t

)?2t2-2t＞5t-5?2t2-7t+5＞0?(2t-5)(t-1)＞0?t＞

5

2

或t＜1（舍去），即：(

5

4

)n-1＞

5

2

?(n-1)lg

5

4

＞lg

5

2

?n-1＞

lg 5 2

lg 5 4

=2?n＞3，故從第4年開(kāi)始扭虧為盈．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查等比數(shù)列，考查等比數(shù)列的求和公式，考查解不等式，有一定的綜合性．