Question

已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，，則棱錐S—ABC的體積為

（A）  （B）  （C）    （D）1

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD 因?yàn)榫�段SC是球的直徑，

所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2 3

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 3 則：SA=SB，AC=BC

因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD²= SA²-AD² = 12-3、 4  =45/4

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD²= AC²-AD² = 4-3/ 4  = 13 / 4

又SD交CD于點(diǎn)D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱錐S-ABC的體積：V=1/ 3 AB•S_△SCD，

因?yàn)椋篠D= ，CD= ，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）/2SD•CD =（45 /4 +13 /4 -16）/2×  ×   =- 

則：sin∠SDC= 1-cos2∠SDC = 

由三角形面積公式得△SCD的面積S=1/ 2 SD•CD•sin∠SDC=1/ 2 × × × =3

所以：棱錐S-ABC的體積：V=1/3 AB•S_△SCD=1 /3 × 3 ×3= 3

故選C