an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1,2…)
,
(1)證明不等式
n(n+1)
2
an
(n+1)2
2
對所有的正整數(shù)n都成立;
(2)設bn=
an
n(n+1)
(n=1,2…)
,用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.
分析:(1)考慮an和式的通項
k(k+1)
,先對其進行放縮k<
k(k+1)
k+(k+1)
2
=
2k+1
2
,結(jié)合數(shù)列的求和公式即可證得;
(2)欲用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.
即證對任意指定的正數(shù)ε,要使|bn-
1
2
|<ε
解答:證:(1)由不等式k<
k(k+1)
k+(k+1)
2
=
2k+1
2

對所有正整數(shù)k成立,把它對k從1到n(n≥1)求和,
得到1+2+3+…+n<an
3
2
+
5
2
+…+
2n+1
2

又因1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
,以及
3
2
+
5
2
+…+
2n+1
2
1
2
[1+3+5+…+(2n+1)]=
(n+1)2
2

因此不等式
n(n+1)
2
an
(n+1)2
2
.

對所有的正整數(shù)n都成立.
(2)由(1)及bn的定義知
1
2
bn
n+1
2n
=
1
2
+
1
2n
,于是|bn-
1
2
|=bn-
1
2
1
2n

對任意指定的正數(shù)ε,要使|bn-
1
2
|<ε
,
只要使
1
2n
<ε
,即只要使n>
1
.

取N是
1
的整數(shù)部分,則數(shù)列bn的第N項以后所有的項都滿足|bn-
1
2
|<ε

根據(jù)極限的定義,證得
lim
n→∞
bn=
1
2
.
點評:本題主要考查不等式的證明,主要采用了放縮法.放縮是一種重要的變形手段,但是放縮的對象以及放縮的尺度不易掌握,技巧性較強.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

an=
1.2
+
2.3
+…+
n(n+1)
(n∈N×),比較an
n(n+1)
2
,
(n+1)2
2
的大小,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)圖象過點A(2,1)和B(5,2),設an=3f(n),n∈N*
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數(shù)a;
(Ⅲ)對每一個k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個2,得到新數(shù)列:a1,2,a2,2,2,a3,2,2,2,2,a4,…,記為{bn},設Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,試問是否存在正整數(shù)m,使Tm=2008?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

an=
1•2
+
2•3
+…+
n(n+1)
(n=1,2…)
,
(1)證明不等式
n(n+1)
2
an
(n+1)2
2
對所有的正整數(shù)n都成立;
(2)設bn=
an
n(n+1)
(n=1,2…)
,用定義證明
lim
n→∞
bn=
1
2
.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

an=
1.2
+
2.3
+…+
n(n+1)
(n∈N×),比較an,
n(n+1)
2
,
(n+1)2
2
的大小,并證明你的結(jié)論.

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